Измерение координаты, скорости и ускорения тела
- Войдите на сайт для отправки комментариев
Вс, 19/08/2012 - 23:06
Возникла проблема на уроке физики вывестиодновременно на экран значение координаты, проекции скорости и проекции ускорения движущегося тела. Начало обсуждения можно найти в теме "определение времени столкновения двух шаров".
Дополню "предысторию". Тема была отпочкованна от http://arduino.ru/forum/programmirovanie/izmerenie-vremeni-soudareniya-metallicheskikh-sharov#comment-14011
Возникла проблема на уроке физики вывестиодновременно на экран значение координаты, проекции скорости и проекции ускорения движущегося тела. Начало обсуждения можно найти в теме "определение времени столкновения двух шаров".
Мне кажется что примешивание сюда слова "проекции" - только запутывает (хотя формально и правильно). Сразу всплывает "проекции куда?" и т.п. IMHO раз мы программим, то проще будет пользоваться чисто алгебраическими терминами. "Больше нуля/меньше нуля".
То есть задача сводится к "есть дискретная функция S(t)". Нужно посчитать ее первую и вторую производные. Все.
А уж потом, глядя на получившиеся знаки производных будем пытатся понять что у нас происходит ускорение,торможение, вправо едем или влево.
P.S. Как "действующему учителю" вам, возможно и видней. Я не настаиваю на сказанном выше. Можете считать это отголосками моих школьных воспоминаний. Возможно уже ошибочных :(
Приятно, что Вы все правильно поняли. А выводить конечно можно и в EXEL и в Dephi и VC. но моя мечта сделать вывод в LabWiev, ведь она управляет Адронным коллайдером. Я уже смотрел - виртуальный СОМ порт она определяет. Вот эти проблемы решу и займусь ей. Может и Вас с агитирую.
А вообще-то Вы правы. Для нешкольных пользователей проекции ни к чему. А в школе решения всех задач на механику связаны с проекциями на координатные оси. Без этого не решишь практическини ни одной задачи, в том числе и в ЕГЭ по физике. А поскольку мне это нужно для демонстраций знаков проекций и создания проблемных ситуаций на уроках, то я и делаю акцент на проекции на ось ОХ.
И программа по идее, может выдавать комментарий вроде этого. "Тело движется равноускоренно против оси ОХ". Как только характер движения изменится, то изменится и комментарий.
Вот такая конфетка мне и нужна. Чтобы обучение было с увлечением.
Приятно, что Вы все правильно поняли.
"Чай, не лаптем щи хлебаю, Соображаю что к чему." (С) Л.Филатов
А выводить конечно можно и в EXEL и в Dephi и VC. но моя мечта сделать вывод в LabWiev, ведь она управляет Адронным коллайдером. Я уже смотрел - виртуальный СОМ порт она определяет. Вот эти проблемы решу и займусь ей. Может и Вас с агитирую.
Это вряд ли. Год назад с ним игрался. Лично мне он плохо подходит. Монстрячий. Да и не люблю я эти "визуальные программирования". Лично для меня любую обработку/логику намного быстрее на языке програмирования сделать каком-нибудь. Текст он все-таки намного "компактней-выразительней". То есть данные-то я в нем, в итоге вывел, но сколько это времени заняло :(
Да и "поддерживать развивать" это все намного трудней. Ни тебе систем контроля версий, ни рефакторинга :( Да вот даже на форум выложить, скопипастать лаб.вью проект и "кусочек скетча" - две большие разницы :(
Конечно это дело вкуса. Человеку привыкшему "мыслить аналогово" может он и удобней будет. Тут скорее речь идет уже про мои личные вкусы. И владения альтернативными инструментами.
А вот "для школьников", возможно он и "в тему будет". Все-таки "большое и красивое" и "выглядит как колайдер" в этом случае вполне может играть очень большое значение.
Только.... А разве он не стоит хороших денег? Дело Поносова не пугает?
Так что на LabView вы меня вряд ли убедите (за других говорить не буду). Мне намного больше простор для творчества в комбинации C#+WPF. Ну максимум, возможно, Processing все-таки решусь пощупать :) Для расширения кругозора :) (хотя тоже не нравится его Java-базированность)
А вообще-то Вы правы. Для нешкольных пользователей проекции ни к чему. А в школе решения всех задач на механику связаны с проекциями на координатные оси. Без этого не решишь практическини ни одной задачи, в том числе и в ЕГЭ по физике. А поскольку мне это нужно для демонстраций знаков проекций и создания проблемных ситуаций на уроках, то я и делаю акцент на проекции на ось ОХ.
Ну дык в коде-то у вас все равно нет никаких проекций быть не может :). Все равно тут "алгеброй" работать нужно. А уж "в финале" можно и геометрическую интерпетацию дать.
Но честно признаюсь. Я изначально не "визуальщик". Геометрия всегда хуже давалась. Просто "не вижу". Поэтому если и буду рисовать картинку, то толко для того что-бы по ней составить систему уравнений и решать их "абстрактно", а потом уже разбиратся "что это означает" физически :)
И программа по идее, может выдавать комментарий вроде этого. "Тело движется равноускоренно против оси ОХ". Как только характер движения изменится, то изменится и комментарий.
Вот такая конфетка мне и нужна. Чтобы обучение было с увлечением.
Ну если цифра посчитанная есть, то вывести разный текст в зависимости от знака - это не есть проблема :)
Что-бы от "лирики" перейти к "конкретике" давайте выясним с какой же частью проекта вы испытываете затруднения:
Кстати, по третьему пункту теория-лекция 1. Лекция: Задачи численного дифференцирования и алгебраической интерполяции
Не знаю насколько оно "для уровня школы" (школы разные бывают), но если очень захотеть imho в общих чертах подход уловить можно.
Ситуация такая. Я знаю дифференцирование и интегрирование. Проблема вот в чем. Как это реализовать в скетче.
Итак изменяется величина, допустим увеличивается расстояние. Эта величина передается например в процессинг. Как должен выглядеть кусочек скетча по взятию первой производной ( скорость) и как от скорости опять взять производную ( ускорение).
Мне кажется что кусок скетча для взятия производных лучше писать в процессинге. А Вы как думаете ?
Ситуация такая. Я знаю дифференцирование и интегрирование.
Никто в этом не сомневался. Даже уверен что лучше меня знаете. У меня оно от "не использования" - изрядно подзабылось. Так что не удивляйтесь глупым вопросам :)
Проблема вот в чем. Как это реализовать в скетче.
OK. То есть с пунктами 1,2,4 - затруднений нет? Только с 3-тим?
Мне кажется что кусок скетча для взятия производных лучше писать в процессинге. А Вы как думаете ?
Ну я уже говорил что мое мнение - лучше делать это на стороне компьютера. Хотя, в случае с процессингом, сам код расчета,писать его на арудине или процессинге - будет практически идентичным.
Итак изменяется величина, допустим увеличивается расстояние. Эта величина передается например в процессинг. Как должен выглядеть кусочек скетча по взятию первой производной ( скорость) и как от скорости опять взять производную ( ускорение).
Нет. Давайте с другого конца. Раз мы решаем "проблему три", то четко отбросим все интерпретации и "откуда данные взялись". Предположим они у нас уже есть. Нам нужно посчитать дискретную производную абстрактной функции. Пусть у нас даны пары значений x,y. Табличка. Для простоты, предположим что шаг по x - постоянный.
Как бы вы на бумаге, не скетчем, а "по русски" описали процесс составление второй таблички, X,YY , де иксы - те же самые, а вот YY - это уже значение первой производной?
Давайте вы попробуете выступить "экспертом предметной области", а я попробую это потом перевести на "комьютерный язык".
Жаль что тут мат символы невозможно вставлять. Трудно понимать друг-друга будет :(
Предлагаю такую символику использовать X[1], X[2],X[3] - это значения иксов из соотвесвующей строки. То есть X[1]=10,X[4]=25
Аналогично для Y[1],Y[2],Y[3] - исходные значения нашей функции (4319,15329,37239)
YY[1], YY[2],YY[3] - значения производной которые нужно расчитать (для X[1],X[2],X[3])
Логично. Но, как говорится я старый стал, плохой стал.
Производные от Х1. Х2, Х3 и т.д. будут нули так как они константы.
Иля я в чем то не прав ?
Но, как говорится я старый стал, плохой стал.
Ничего подобного. До тех пор пока вас интересует новое - вы не старый. А знания всегда ограничены, просто с возрастом это признавать трудней :) .
Просто "в школьной программе" обычно оперируют непрерывными функциями. В худжем случае имеющие "разрывы", но все равно непрерывные в своей области определения. А тут вы мы сталкиваемся с дискретной функцией. Которая, наоборот, определена только в определенных точках, но не имеет значения в их окрестностях.
К сожалению ардуина не может "непрерывно", мерять какие-то значения. Только в определенные моменты времени. То есть на входе для расчетов у нас будет именно подобная "табличка" (или ее кусочек). И нам нужно научится ее считать.
Вначале на бумажке. Мы не сможем объяснить компьютеру "как это посчитать" (написать скетч), пока сами не знает как это делать. "Компьютер должен работать, а человек - думать". Так что, в данный момент "затык", у нас не с программированием, а с математикой.
Ну ничего страшного. Будем вместе разбиратся/вспоминать. Может кто-нибудь поделитится ссылочкой где численные методы объяснены более школьным языком, чем в линке на лекцию что я выше давал. Без "страшных" рядов тейлора и определителей матриц (мне не удалось найти).
В крайнем случае - сами выведем. Изобретем велосипед. Смог же Цилковский переизобрести диф.исчесление. Из-за того что не мог получит образование. Значит и мы сможем. :)
Производные от Х1. Х2, Х3 и т.д. будут нули так как они константы.
Иля я в чем то не прав ?
Давайте подумаем. А какую физическую интерпретацию будет иметь подобный ответ? Первая производная от пути - равна нулю. Значить "мы стоим". Получили аппорию "Стрела Зенона". Вряд ли нас устроит ответ "скорость равна нулю при любых показаниях датчика". Значит прийдется считать что вы не правы и искать в чем.
Вернемся в "математику". Почему же получился такой ответ? А потому что вы рассмотрели таблицу не как одну функцию заданную в определенных точках, а как множество функций-констант. И от каждой взяли производную "независимо". То есть "подменили задачу" на не эквивалентную. Потеряли информацию о связи точек между собой.
А по-моему все просто. Что есть производная? Это dY/dX при стремлении dX к нулю. то есть dX должно быть минимальным, но ненулевым. Для дискретной функции минимум dX - это один дискрет. Приходим к YY(X[n]) = (Y[n]-Y[n-1]) / (X[n]-X[n-1])
Аналогично со второй производной.
Считайте функцию кусочно-линейной, или сглаживайте (хоть сплайнами, хоть степенной функцией, тогда производная эмпирически извесна)
P.S. Производную можно обозначит Y', а вторую Y" :) Но это только для текста. Для программы можно dY и ddY или dY2
А посчитать нужно :) Итого на данный момент мы умеем брать производные от непрерывных функций, но не умеем брать производные от дискретных. Выход очевиден. "Подменить" дискретную похожей на нее непрерывной и взять производную от нее.
Что значит "похожей"? Значит, как минимум, проходящей через те же точки. То есть найти апроксимирующую функцию и дальше работать с ней.
Этот подход "не идеален" для нашего случая, но все равно вначале пройдем его. Будем данные полученые через него использовать для "самопроверки".
Проще всего, естественно апроксимировать полиномом вида:
Апроксимировать - значит найти такие коэфициенты a0,a1...aN, что-бы функция p(x), проходила через все точки нашей таблицы.)
.
Сделать это можно составив и решив систему n уравнений, в которой каждое уранение это
Проделав это с нашей табличкой получим такую апроксимирующую функцию:
А вот от нее, к счастью, мы уже умеем взять производную в рамках школьной математики.
Подставляем в нее наши x1,x2..xN и находим искомые yy1,yy2..yyN
Тогда мы должны помнить 4 последних отсчета (для полинома 3 степени) и с приходом нового отсчета считать каждый раз решать систему. Еще можно брать больше отсчетов, сглаживать по методу минимальных квадратов, потом решать систему... Для медленной системы прокатит, иначе - может нехватить вычислительных мощностей.
Одно ясно - сначала ищется маематическое решение, потом оно алгоритмизуется и кодируется.
А по-моему все просто. Что есть производная?
Ну само-собой. Но я же "просто" - не умею. Должен издалека к этому приехать :) Занудить всех в усмерть. Пошагово. С объяснением "что же было неправильно в изначальном подходе" :)
К тому же это только один вариант "как использовать определение производной". Когда у вас две точки используются для расчета. Метод "конечной разности", а есть еще "метод центральной точки" и "метод неопределенных коэфициентов".
Мне просто в кайф самому повспоминать школу. Для "нетерпеливых" - конечно уже сразу можно брать ваш ответ и начинать кодить, но я, все-таки, с вашего позволения "дожую до конца" эту вкусняшку :)
Естественно и ваш подход сделаем.
>Производную можно обозначит Y', а вторую Y"
Согласен. Когда набирал предыдущий пост сам к этому пришел ;) Че-то перемудрил :(
Одно ясно - сначала ищется маематическое решение, потом оно алгоритмизуется и кодируется.
Вот. Вот. Этим я и занимаюсь. Апроксимирующую функцию я взял что-бы иметь "тестовые данные", с которыми можно будет сравнивать реализацию предложенного вами подхода.
>Тогда мы должны помнить 4 последних отсчета (для полинома 3 степени)
Вы правы. Но то что он получился третий степени (все остальные a - нули). Это просто "повезло" на конкретно этих данных.
На реальных данных он будет степени N.
Что привод нас к главному его недостатку: для расчета нужно знать все точки заранее. Невозможно, без потери точности, вычислять "на ходу". Это не критично если мы делаем расчеты по какому-то сохраненому логу, но "немного не то" для эксперемента в реальном времени.
И все-таки я, для начала "дожму его" :) Буду использовать его в качестве "эталона".
Счас буду ставить процессинг и раскуривать его.
А еще в "Матанализе" есть много интересного про интегрирование и дифференцирование функций, заданных дискретными отсчетами. Вот нужная статья. Если ее "вкурить", как выражаются некоторые ;) то сильно сокращается объем расчетов, потому что при расчете производной используются только имеющиеся данные :) Типичная ситуация "все украдено до нас" :)))
Вот нужная статья.
Спасибо. Именно подобную ссылку я и имел ввиду когда говорил что "может кто-то даст". Почему-то не смог сам нагуглить.
Зато сейчас сразу нашел Лекция 10. Численное дифференцирование
То же самое, только для конкретных N. Готовое - бери и подставляй ;)
Сам не выношу слов "просьба не пинать", но видать это "заразно" ;).
Вообщем "просьба не пинать", так как я этот процессинг перый раз в глаза вижу :)
final static int N=10; // размер нашей талицы данных float[] X=new float[N]; float[] Y=new float[N]; float[] dY1=new float[N]; // первая производная методом апроксимирующей функции. void setup(){ // массивы для хранения данных fillTestData(); // заполняем входный данные calculate(); // считаем производные разными методами printTable(); // выводим результаты exit(); // и закрываем окно } void fillTestData(){ //заполняем массив тестовыми данными for(int n=0;n<N;n++){ X[n]=(n+1)*5+5; Y[n]=5*pow(X[n],3)-7*pow(X[n],2)+2*X[n]-1; // f(x)=5*x^2-7*x^2+2*x-1 } } // считаем производные void calculate(){ for(int i=0;i<N;i++) { float x=X[i]; // первый. "проверочный способ" //f'(x)=15*x^2-14*x+2 dY1[i]= 15*pow(x,2)-14*x+2; } } void printTable(){ println("X \t Y \t f'(x)"); for(int i=0;i<N;i++){ print(X[i]); print(" \t "+Y[i]); print(" \t "+dY1[i]); // первый способ println(); } }Выводит
Теперь попробуем реализовать метод предложенный AlexFisher в msg#10.
Он же "метод #2" из этой лекции http://www.toehelp.ru/theory/informat/lecture10.html
Вообщем воспользуемся формулой
(как видим это практически "голое" определение что такое производная).
Скетч:
final static int N=10; // размер нашей талицы данных final static float STEP=5; float[] X=new float[N]; float[] Y=new float[N]; float[] dY1=new float[N]; // первая производная методом апроксимирующей функции. float[] dY2=new float[N]; // первая производная методом конечной разности void setup(){ // массивы для хранения данных fillTestData(); // заполняем входный данные calculate(); // считаем производные разными методами printTable(); // выводим результаты exit(); // и закрываем окно } void fillTestData(){ //заполняем массив тестовыми данными for(int n=0;n<N;n++){ X[n]=(n+1)*STEP+5; Y[n]=5*pow(X[n],3)-7*pow(X[n],2)+2*X[n]-1; // f(x)=5*x^2-7*x^2+2*x-1 } } // считаем производные void calculate(){ for(int i=0;i<N;i++) { float x=X[i]; // первый. "проверочный способ" //f'(x)=15*x^2-14*x+2 dY1[i]= 15*pow(x,2)-14*x+2; //метод конечной разности. // для первой точки посчитать не можем, так как отсусвует предыдущая точка if(i>0)dY2[i]=(Y[i]-Y[i-1])/(X[i]-X[i-1]); } } void printTable(){ println("X \t\t Y \t\t f'(x) \t\t f'(x)"); for(int i=0;i<N;i++){ print(nfc(X[i],3)); print(" \t\t "+nfc(Y[i],3)); print(" \t\t "+nfc(dY1[i],3)); // первый способ print(" \t\t "+nfc(dY2[i],3)); // второй способ println(); } }Вывод будет таким:
Как видим. "Теоретически значения" (предпоследняя колонка) и расчетные (последняя) не совпадают весьма значительно. Почему? Смотрим на формулу и видим что производная у на _приблизительно_ равна разнице дельт. И чем меньше у нас дельта X тем более она равна (ближе к определению что такое производная).
А, на этих данных, у нас икс "шагает довольно широко". Когда же дельта по иксу (на больших значениях) становится существенно меньше значения самой функции - мы видим что ошибка уменшается. Проверим это. Снизим размер шага по иксу на несколько порядков. Возьмем STEP=0.01, вместо STEP=5
Получим:
Как видим последние две колонки стали гораздо более похожими. Ошибка пришла к "тепрмимому" уровню.
На сегодня, наверное, это все.
Доброе время суток. Провинциальный учитель физики благодарит Вас за помощь и энтузиазм.
Спасибо. Разобрался. Но, если я правильно понял, то вы берете конкретную функцию и берете от нее производную.
Но у меня задача другая. Идет от Ардуино поток данных - допустим работает датчик расстояния и он выдает 1 см, 2 см, .....
Если делаем в Processng ( Delphi, VC, SmailBasic .... в чем угодно, что принимает данные с Ардуино).
то в него с датчика расстояния поступает непрерывно изменяющуюся величина расстояния S.
И мне представляется алгоритм в цикле таким :
Запоминаем S
Запоминаем новое расстояние S1
Находим разность S1 - S, делим ее на dx, допустим 0.01
Получаем V = (S1 - S)/ dx
Запоминаем V
Запомнаем новую скорость V1
Находим а = (V1 - V)/dx
Мне кажется должно быть так.
Или я в чем-то неправ. Рассудите люди добрые.
Если я прав и Вы бы набросали скетч, то лучшего подарка учителю к Новому учебному году и желать не стоит.
>Но, если я правильно понял, то вы берете конкретную функцию и берете от нее производную.
Близко но не совсем. В сообщение #11 - я описал принцип превращения "данные с датчика" можно превратить в "конкретную функцию" и дальше работать с ней (решить систему уравнений).
AlexFisher упомянул что для перехода от "показаний датчика" к конкретной функции - можно использовать, например, еще и для "метод наименьших квадратов" (тогда еще произойдет и сглаживание показаний).
Так что этот путь - вполне возможен, но в данном случае немного "из пушки по воробьям". Поэтому в скетче делать переход от "точек" к "фунции" - я не стал. Выполнил этот переход "руками на бумаге", один раз. Для одного конкретного набора данных.
Действительно получил, как вы правильно заметили "конкретную функцию". Но, только с целью "использовать ее в качестве эталона". Что-бы на данных полученные этой функцией посчитать методом про который упомянули вы "Находим разность S1 - S, делим ее на dx, допустим 0.01,Получаем V = (S1 - S)/ dx" и сравнить полученный результат с "эталонными значенями". И только после того как увидим что "алгоритм работает" и точность достаточно - его можно применять на реальных данных полученных с ардуины.
В данные момент эта "конкретная фунция" выступает в качестве "заменителя датчика". Для отладки алгоритма. Если мы сразу возьмем настоящий датчик, то не сможем узнать "правильно ли у нас все работает". Прокатите вы датчик (причем каждый раз по другому), получите какие-то цифры, что-то на что-то поделите... и что? Как узнать их правильность?
Более того подход "V = (S1-S)/dx" - уже тоже реализован в скетче. В сообщении #19. Вы нажимали на надпись "показать код"? Строку 39 скетчка смотрели? Она даже выделена. Это же и есть ваше V=(S1-S)/dx.
И показанные результаты. Можно сравнить как отличаеют значения V постчитанные "аналитически" (через "конретную фунции") и "численно" (вашим методом).
>Но у меня задача другая.
У вас задача не другая. Перечитайте сообщение #4 в конца там есть четыре пункта. На которые имеет смысл "разбить вашу задачу", что-бы решить ее. По частям.
В данные момент эти скетчи и описания решают подзадачу 3. Естественно часть задачи не равна задаче в целом. Это все равно что вы пришли к автомастеру со словами "мне нужно поехать в село, а машина не заводится", он посмотрел и говорит "нужно отрегулировать карбюратор", а вы "не... у меня другая задача, мне поехать нужно, а не карбюратор разбирать". Что-бы поехать в село нужно решить "почистить карбюратор", "заправить бензин", "наметить маршрут", "взять документы"....
Спасибо. Еще раз внимательно просмотрю все сообщения. Их так много, что я возможно что-то пропустил.
Еще раз спасибо.
Их так много
Это месть :) За воспоминания детства типа "на завтра задаю 160 задач по Сканави". ;)
Шучу. На самом деле мне очень повезло, в свое время, встретить Настоящего Учителя Математики. Шмигевского Николай Васильевича.
Многословность - есть у меня такая болезнь. Но тут уж вам выбирать. Либо искать кого-друго или "брать что есть".
Я не люблю делать "подарок" и давать сразу готовый ответ. Это не подарок, а медвежья услуга (постараюсь удержатся от трех страниц описания почему ;). Хотя дать сразу "готовый ответ" зачастую в разы проще и быстрее, чем подталкивать кого-то к самостоятельному его нахождению или расписыванию пошагово "как мы к этому пришли".
По поводу "перечитаю". У меня сложилось впечатление, еще по предыдущей теме, что вы не замечаете или не знаете как посмотреть "свернутый код". Вот например в сообщении #19 вы сам код скетча смогли увидеть? (номер сообщения есть в правом верхнем углу каждого поста).
Если нет - скажите об этом, если да - попробуйте его запустить у себя в процессинге. "Поигратся с ним". Самому увидеть как он что-то выводит. А то мы "приползем" к конечному варианту, а в конце окажется что он у вас вообще не запускается. Подобные проблемы лучше всего выявлять на самых ранних "прототипах". Они для того и предназначены.
Ладно. Поехали дальше. В принципе мы уже умеем считать производную. Но нет предела совершеству :) Попробуем улучшить точность расчета. Использовать для расчета производной информацию не о двух точках, а о трех.
Опять смотрим лекцию http://www.toehelp.ru/theory/informat/lecture10.html раздел "Вычисление первых производных по трёхточечным схемам."
Расчетные формулы для указанной трехточечной схемы имеют вид:
(откуда "взялись" эти формулы можно понять если почитать линк который давал AlexFisher).
Нам, так как мы планируем считать производную в real-time самой удобной будет третья формула. То есть будем считать производную по "точке" и двум ее предыдущим точкам. Только чуток сменим наименование-индексацию. Будем считать для правой точки с картинки. Обзовем ее i-той, а не Y1, а две предыдущий i-1 и i-2. Ну их вместо 2h - возьмем разницу иксов. Тогда "в нашей индексации формула примет вид":
Осталось только реализовать эту формулу в скетче и вывести результат.
Скетч:
final static int N=10; // размер нашей талицы данных final static float STEP=0.01; float[] X=new float[N]; float[] Y=new float[N]; float[] dY1=new float[N]; // первая производная методом апроксимирующей функции. float[] dY2=new float[N]; // первая производная методом конечной разности float[] dY3=new float[N]; // первая производная по трем точкам void setup(){ // массивы для хранения данных fillTestData(); // заполняем входный данные calculate(); // считаем производные разными методами printTable(); // выводим результаты exit(); // и закрываем окно } void fillTestData(){ //заполняем массив тестовыми данными for(int n=0;n<N;n++){ X[n]=(n+1)*STEP+5; Y[n]=5*pow(X[n],3)-7*pow(X[n],2)+2*X[n]-1; // f(x)=5*x^2-7*x^2+2*x-1 } } // считаем производные void calculate(){ for(int i=0;i<N;i++) { float x=X[i]; // первый. "проверочный способ" //f'(x)=15*x^2-14*x+2 dY1[i]= 15*pow(x,2)-14*x+2; //метод конечной разности. // для первой точки посчитать не можем, так как отсусвует предыдущая точка if(i>0)dY2[i]=(Y[i]-Y[i-1])/(X[i]-X[i-1]); //считем производную по трем точкам, поэтому "для первых двух" - посчитать не сможем if(i>1)dY3[i]= (Y[i-2]-4*Y[i-1]+3*Y[i])/ (X[i]-X[i-2]); } } void printTable(){ println("X \t\t Y \t\t f'(x) \t\t f'(x) \t\t f'(x)"); for(int i=0;i<N;i++){ print(nfc(X[i],3)); print(" \t\t "+nfc(Y[i],3)); print(" \t\t "+nfc(dY1[i],3)); // первый способ print(" \t\t "+nfc(dY2[i],3)); // второй способ print( " ("+ nfc(dY1[i]-dY2[i],3) +")" ); // выводим "ошибку", насколько отличается от расчетноего print(" \t\t "+nfc(dY3[i],3)); // третий способ, по трем точкам print( " ("+ nfc(dY1[i]-dY3[i],3) +")" ); // выводим "ошибку", насколько отличается от расчетноего println(); } }Результат:
В круглых скобках я вывел насколько отличается цифра полученная численным методом от "теоретической". Как видим "новый способ" дает результаты точнее почти на два порядка чем "лобовой подход" V=(S1-S)/dx
Удовлетворимся полученным результатом и, в дальнейшем будем использовать именно его.
Что-бы дальше было удобней считать "поток данных" и пользоватся той же функцией для расчета второй производной вынесем строку 43 (предыдущего скетча) в отдельную функцию
// первая производная по трем точкам. // (x,y) - точка в которой считаем производную // (x1,y1) - предыдущая точка (на шаг назад) // (x2,y2) - пред.предыдущая (на два шага назад) float diff1(float x2,float y2,float x1,float y1,float x,float y){ return (y2-4*y1+3*y)/(x-x2); }а строке 43 будем просто ее вызывать.
//считем производную по трем точкам, поэтому "для первых двух" - посчитать не сможем if(i>1)dY3[i]= diff1( X[i-2],Y[i-2], X[i-1],Y[i-1], X[i],Y[i]); // считаем первую производную по трем точкамТеперь займемся расчетом "вторых производных".
Для начала опять-таки, посчитаем ее "аналитически". Возьмем нашу формулу первой производной (для этих данных)
и возьмем от нее производную
Получили "ориентир" с которым будем сверятся.
А для "численного расчета" воспользуемся выделенной на прошлом шаге функцией diff1(...). Только вместо Y-ков передадим ей то что мы насчитали ей раньше. То есть получится diff1(diff1(...)). Тоже "производная от производной.
Скетч считающий вторые производные "двумя способами" будет таким:
final static int N=10; // размер нашей талицы данных final static float STEP=0.01; float[] X=new float[N]; float[] Y=new float[N]; float[] dY1=new float[N]; // первая производная методом апроксимирующей функции. float[] dY2=new float[N]; // первая производная методом конечной разности float[] dY3=new float[N]; // первая производная по трем точкам float[] ddY1=new float[N]; // вторая производная апроксимирующей функцией (аналитический метод). float[] ddY2=new float[N]; // вторая производная как "производная производной". void setup(){ // массивы для хранения данных fillTestData(); // заполняем входный данные calculate(); // считаем производные разными методами printTable(); // выводим результаты exit(); // и закрываем окно } void fillTestData(){ //заполняем массив тестовыми данными for(int n=0;n<N;n++){ X[n]=(n+1)*STEP+5; Y[n]=5*pow(X[n],3)-7*pow(X[n],2)+2*X[n]-1; // f(x)=5*x^2-7*x^2+2*x-1 } } // считаем производные void calculate(){ for(int i=0;i<N;i++) { float x=X[i]; // первый. "проверочный способ" //f'(x)=15*x^2-14*x+2 dY1[i]= 15*pow(x,2)-14*x+2; //метод конечной разности. // для первой точки посчитать не можем, так как отсусвует предыдущая точка if(i>0)dY2[i]=(Y[i]-Y[i-1])/(X[i]-X[i-1]); //считем производную по трем точкам, поэтому "для первых двух" - посчитать не сможем if(i>1)dY3[i]= diff1( X[i-2],Y[i-2], X[i-1],Y[i-1], X[i],Y[i]); // считаем первую производную по трем точкам // ==== вторые производные =========== //аналитический способ, для самопроверки ddY1[i]=30*X[i]-14; //второй способ, считаем как "производную от производной. поэтому считать можем начать только с пятой точки, // до этого мы просто не знаем трех значение первой производной if(i>4) ddY2[i]=diff1(X[i-2],dY3[i-2], X[i-1],dY3[i-1], X[i],dY3[i]); // считаем вторую производную. только вместо Y-ков даем dY3 которые посчитали раньше (первая производная третим методом) } } // первая производная по трем точкам. // (x,y) - точка в которой считаем производную // (x1,y1) - предыдущая точка (на шаг назад) // (x2,y2) - пред.предыдущая (на два шага назад) float diff1(float x2,float y2,float x1,float y1,float x,float y){ return (y2-4*y1+3*y)/(x-x2); } void printTable(){ // println("X \t\t Y \t\t f'(x) \t\t f'(x) \t\t f''(x)"); println("X \t\t Y \t\t f'(x) \t\t f''(x) \t\t f''(x)"); for(int i=0;i<N;i++){ print(nfc(X[i],3)); print(" \t\t "+nfc(Y[i],3)); /* // Пока закоментим вывод первыми двумя способами "в работу" у нас пошел третий. print(" \t\t "+nfc(dY1[i],3)); // первый способ print(" \t\t "+nfc(dY2[i],3)); // второй способ print( " ("+ nfc(dY1[i]-dY2[i],3) +")" ); // выводим "ошибку", насколько отличается от расчетноего */ print(" \t\t "+nfc(dY3[i],3)); // теритий способ // print( " ("+ nfc(dY1[i]-dY3[i],3) +")" ); // выводим "ошибку", насколько отличается от расчетноего // выводим вторый производные print(" \t\t "+nfc(ddY1[i],3)); // первый способ print(" \t\t "+nfc(ddY2[i],3)); // второй способ print( " ("+ nfc(ddY1[i]-ddY2[i],3) +")" ); // выводим "ошибку", насколько отличается от расчетноего println(); } }Резульатат таким:
Хорошо. Буду внимательно разбираться и крутить скетчи в Процесснге.
Будут проблемы - выдам SOS !
Хорошо. Буду внимательно разбираться и крутить скетчи в Процесснге.
Будут проблемы - выдам SOS !
Вы так и не ответили. Скетч который "свернут" вы смогли увидеть?
Теперь займемся "рефакторингом" (делаем код "более вменяемым", не меняя сути того что он делает):
// наш класс для хранения данных и расчетов "в одной коробке" class DataPoint{ // входные данные float x; float y; // результаты расчетов float dY; // первая производная float ddY; // вторая производная // конструктор DataPoint(float X, float Y){ x=X;y=Y; dY=0;ddY=0; // по умолчанию считаем производными равными нулю } } // наша главная, на данный момент, функция void setup(){ fillTestData(); // заполнили тестовые данные calculate(); // посчитали производные printAllTestData(); //вывели } // заполняем тестовые данные final static int N=10; // размер нашей талицы данных final static float STEP=0.01; DataPoint[] TestDataPoints=new DataPoint[N]; // массив тестовых данных void fillTestData(){ //заполняем массив тестовыми данными for(int n=0;n<N;n++){ float x=(n+1)*STEP+5; float y=5*pow(x,3)-7*pow(x,2)+2*x-1; // Y=f(x)=5*x^2-7*x^2+2*x-1 TestDataPoints[n]=new DataPoint(x,y); } } // выводит все тестовые данные void printAllTestData(){ for(int i=0;i<TestDataPoints.length;i++)printDataPoint(TestDataPoints[i]); } // выводит одну точку void printDataPoint(DataPoint p){ println( "x="+nfc(p.x,3) + ";\t y="+nfc(p.y,3) + ";\t y'="+nfc(p.dY,3) + ";\t y''="+nfc(p.ddY,3) ); } // первая производная по трем точкам. // (x,y) - точка в которой считаем производную // (x1,y1) - предыдущая точка (на шаг назад) // (x2,y2) - пред.предыдущая (на два шага назад) float diff1(float x2,float y2,float x1,float y1,float x,float y){ return (y2-4*y1+3*y)/(x-x2); } // считаем производные для тестовых данных void calculate(){ for(int i=2;i<TestDataPoints.length;i++){ // начинаем с третей точки, только она имеет "две предыдущие DataPoint p=TestDataPoints[i]; // текущая точка DataPoint p1=TestDataPoints[i-1]; // предыдущая DataPoint p2=TestDataPoints[i-2]; // пред.предыдущая // первая производная p.dY=diff1( p2.x,p2.y, p1.x,p1.y, p.x,p.y); // вторая производная p.ddY=diff1(p2.x,p2.dY, p1.x,p1.dY, p.x,p.dY); // для первых точек будет "врать", так как на вход поступят дефолтные нули первой производной. } }Продожим "причесывать" скетч. Вынесем все расчетную логику в отдельный класс DiffCalculator который будет считать производные и "запоминать" прошлые значения. Что-бы отвязать логику расчетов от использования таблицы TestDataPoints и можно было, в дальнешем работать с данными поступающими "откуда угодно".
Скетч: (что-бы увидеть его нажмите на "показать код".
DiffCalculator calc=new DiffCalculator(); // наш калькулятор производных // наша главная, на данный момент, функция void setup(){ fillTestData(); // заполнили тестовые данные // считаем и выводим тестовые данные for(int i=0;i<TestDataPoints.length;i++){ DataPoint calculatedPoint=calc.CalculateDiffs(TestDataPoints[i]); // посчитали printDataPoint(calculatedPoint); // вывели } } // выводит одну точку void printDataPoint(DataPoint p){ println( "x="+nfc(p.x,3) + ";\t y="+nfc(p.y,3) + ";\t y'="+nfc(p.dY,3) + ";\t y''="+nfc(p.ddY,3) ); } // ================================== Описание классов =============================== // наш класс для хранения данных и расчетов "в одной коробке" class DataPoint{ // входные данные float x; float y; // результаты расчетов float dY; // первая производная float ddY; // вторая производная // конструктор DataPoint(float X, float Y){ x=X;y=Y; dY=0;ddY=0; // по умолчанию считаем производными равными нулю } } // этот клас будет может считать первую и вторую производную для точки, при этом "хранит в себе" две предыдущие, для расчетов class DiffCalculator{ private DataPoint p=new DataPoint(0,0); // текущая точка private DataPoint p1=new DataPoint(0,0);; // предыдущая private DataPoint p2=new DataPoint(0,0);; // пред.предыдущая // возвращает точку с посчитанными производными (делае новые экземпляр точки) // и "запоиминает" ее для дальнеших вычисление public DataPoint CalculateDiffs(DataPoint inputPoint){ // вначале "сдвигаем" старые точки p2=p1; p1=p; // запоминаем новую p=new DataPoint(inputPoint.x,inputPoint.y); // вычисляем производные calculate(); return p; // возвращаем точку с посчитанными значениями } // считает производные для текущей точки //для первых точек будет "врать", так как на вход поступят дефолтные нули первой производной. private void calculate(){ // первая производная p.dY=diff1( p2.x,p2.y, p1.x,p1.y, p.x,p.y); // вторая производная p.ddY=diff1(p2.x,p2.dY, p1.x,p1.dY, p.x,p.dY); } // первая производная по трем точкам. // (x,y) - точка в которой считаем производную // (x1,y1) - предыдущая точка (на шаг назад) // (x2,y2) - пред.предыдущая (на два шага назад) private float diff1(float x2,float y2,float x1,float y1,float x,float y){ return (y2-4*y1+3*y)/(x-x2); } } // ================================== Тестовый регион =============================== // заполняем тестовые данные final static int N=10; // размер нашей талицы данных final static float STEP=0.01; DataPoint[] TestDataPoints=new DataPoint[N]; // массив тестовых данных void fillTestData(){ //заполняем массив тестовыми данными for(int n=0;n<N;n++){ float x=(n+1)*STEP+5; float y=5*pow(x,3)-7*pow(x,2)+2*x-1; // Y=f(x)=5*x^2-7*x^2+2*x-1 TestDataPoints[n]=new DataPoint(x,y); } }На всякий случай напоминю, что что-бы попробовать скетч у себя - не обязательно его "перенабирать руками".
Прочитайте http://arduino.ru/forum/obshchii/vstavka-programmnogo-koda-v-temukommentarii#comment-13011 сообщение #2
С этим подходом "попробовать скетч у себя" у вас займет 10-15 секунд.
Ну и последние "усилие". Отделим получение данных от логики главной программы.
Введем функцию getNextDataPoint() задачей которй будет "вернуть новую точку для расчета". Откуда она ее взяла, из тестовых данных или от ардуины - будет знать только она.
DiffCalculator calc=new DiffCalculator(); // наш калькулятор производных // настройка void setup(){ // тут можно будет настроить размеры окна, открыть соединение с ардуиной ит.п. } // главный цикл программы, который получает, обрабатывает и выводит данные void draw(){ DataPoint newPoint=getNextDataPoint(); // получаем новую точку if(newPoint!=null){ // удалось получить DataPoint calculatedPoint=calc.CalculateDiffs(newPoint); // посчитали printDataPoint(calculatedPoint); // вывели }; } // возвращает следующую точку для обработки. // пока берет их "из тестовой таблицы" // в конечном варианте будет получать их от ардуины DataPoint getNextDataPoint(){ if(TestDataPoints==null)fillTestData(); // если тестовые данные пусты - заполняем их if(currentTestIndex==N)return null; // больше нет тестовых данных, возвращаем "ничего". DataPoint newPoint=TestDataPoints[currentTestIndex]; // вернем эту точку currentTestIndex++; // увеличили индекс что-бы в следующий раз вернуть следующую точку return newPoint; } // выводит одну точку void printDataPoint(DataPoint p){ println( "x="+nfc(p.x,3) + ";\t y="+nfc(p.y,3) + ";\t y'="+nfc(p.dY,3) + ";\t y''="+nfc(p.ddY,3) ); } // ================================== Описание классов =============================== // наш класс для хранения данных и расчетов "в одной коробке" class DataPoint{ // входные данные float x; float y; // результаты расчетов float dY; // первая производная float ddY; // вторая производная // конструктор DataPoint(float X, float Y){ x=X;y=Y; dY=0;ddY=0; // по умолчанию считаем производными равными нулю } } // этот клас будет может считать первую и вторую производную для точки, при этом "хранит в себе" две предыдущие, для расчетов class DiffCalculator{ private DataPoint p=new DataPoint(0,0); // текущая точка private DataPoint p1=new DataPoint(0,0);; // предыдущая private DataPoint p2=new DataPoint(0,0);; // пред.предыдущая // возвращает точку с посчитанными производными (делае новые экземпляр точки) // и "запоиминает" ее для дальнеших вычисление public DataPoint CalculateDiffs(DataPoint inputPoint){ // вначале "сдвигаем" старые точки p2=p1; p1=p; // запоминаем новую p=new DataPoint(inputPoint.x,inputPoint.y); // вычисляем производные calculate(); return p; // возвращаем точку с посчитанными значениями } // считает производные для текущей точки //для первых точек будет "врать", так как на вход поступят дефолтные нули первой производной. private void calculate(){ // первая производная p.dY=diff1( p2.x,p2.y, p1.x,p1.y, p.x,p.y); // вторая производная p.ddY=diff1(p2.x,p2.dY, p1.x,p1.dY, p.x,p.dY); } // первая производная по трем точкам. // (x,y) - точка в которой считаем производную // (x1,y1) - предыдущая точка (на шаг назад) // (x2,y2) - пред.предыдущая (на два шага назад) private float diff1(float x2,float y2,float x1,float y1,float x,float y){ return (y2-4*y1+3*y)/(x-x2); } } // ================================== Тестовый регион, потом выкинем его =============================== // заполняем тестовые данные final static int N=10; // размер нашей талицы данных DataPoint[] TestDataPoints; // тестовые даннные int currentTestIndex=0; void fillTestData(){ final float STEP=0.01; if(TestDataPoints==null)TestDataPoints=new DataPoint[N]; // инициализируем массив //заполняем массив тестовыми данными for(int n=0;n<N;n++){ float x=(n+1)*STEP+5; float y=5*pow(x,3)-7*pow(x,2)+2*x-1; // Y=f(x)=5*x^2-7*x^2+2*x-1 TestDataPoints[n]=new DataPoint(x,y); } }Ну вот. По прежнему думаете что у вас "другая задача"? Теперь достаточно заменить функцию getNextDataPoint() так что-бы данные она получала из ардуины, а не готовой таблицы и задача будет выглядить как "вылитая ваша"? :) Уже проглядывается? Ну и выкинуть, в финале "Тестовый регион".
Теперь пришло время опять "оглядеть задачу целиком".
Что-бы от "лирики" перейти к "конкретике" давайте выясним с какой же частью проекта вы испытываете затруднения:
Пункт 3 мы вроде как выполнили (жду от вас подтвержения).
Какой пункт пойдет "следующим на реализацию"? Справитесь сами или тоже есть затруднения?
Добрый вечер. Мне уже неудобно. Я отнял у Вас кучу времени. Я думал, что все намного проще.
Свернутые скетчи я конечно увидел сразу как пришел на форум.
А теперь, дайте мне время. Ваш темп я просто не выдерживаю. Я попробую на днях разобраться сам во всем что Вы мне написали. Сейчас совсем нет времени, идет подготовка к новому учебному году - кабинет, куча бумаг, дали новую интерактивную доску, систему для голосования ( тестирование учащихся в режиме on-line) и т.д. и т.л..
О всех результатах, как положительных, так и отрицательных, которые у меня появятся - сообщу на форуме.
Если получится, то на первых уроках в 10 классе запущу скетч на уроках, где пойдет речь о пути, скорости и ускорении.
Если нет, то, как я писал, у меня есть "железяки" - дифференциаторы на операционных усилителях, тогда запущу их. С ними все просто - подключу их к 3-м аналоговым портам и данные прочитаю в Процессинге и через видеопроектор - на экран.
А теперь, дайте мне время. Ваш темп я просто не выдерживаю. Я попробую на днях разобраться сам во всем что Вы мне написали. Сейчас совсем нет времени, идет подготовка к новому учебному году - кабинет, куча бумаг, дали новую интерактивную доску, систему для голосования ( тестирование учащихся в режиме on-line) и т.д. и т.л..
Нет, надо успевать, "гонка за лидером" - это такой вид спорта, когда если отстал - то отстал навсегда :)
2 leshak - респект!!! Мне было очень интересно. Думаю, не мне одному :) У меня не нашлось столько времени, чтобы из имеющихся материалов сварить кашу ;) А тема сама-по себе интересная.